Como a equação estacionária de Schrodinger é da mesma forma que a equação de Helmholz na eletrodinâmica, nós interpretamos o fenômeno ondulatório em física quântica analogamente com a óptica clássica.

Se uma onda com amplitude \(\psi_{\sigma}(x,y) = \psi_0(x,y) e^{i\phi(x,y)}\) passa por uma estrutura difrativa, como uma rede de difração ou uma pequena abertura com extensão \(\sigma\), novas ondas secundárias emanam. De acordo com o princípio de Huygens, cada elemento de superfície \(d\sigma\) que contribui para a intensidade em um ponto \(P(x’,y’)\) é descrito por:

\(d\psi_p \propto \frac{\psi_{\sigma}d\sigma}{r}e^{-ikr}\), no qual \(k = 2\pi /\lambda\) é o vetor de onda e \(r\) é a distância entre fonte e observador. Integrando sobre a área da estrutura de difração, obtemos:

\(\psi_p \propto \int{\int{ \psi_{\sigma}\frac{e^{-ikr}}{r}dx dy}}\).

A descrição da difração se torna simples com o aumento da distância em relação a fonte, uma vez que a distância \(r\) entre a fonte e o observador \(r = \sqrt{z_0^2 + (x-x’)^2+(y-y’)^2}\) pode ser aproximado com poucos termos.

Fresnel

A aproximação de Fresnel possui termos lineares e quadráticos, que é válida se e somente se \(\frac{x-x’}{z}<1<\frac{\sigma^2}{\lambda z}\).

Neste caso, o denominador pode ser aproximado para \(r \simeq z_0\) e o expoente pode ser escrito como \(r = \sqrt{z_0^2 + (x-x’)^2+(y-y’)^2} = z_0 (1 + \frac{(x-x’)^2}{2z_0^2}+ \frac{(y-y’)^2}{2z_0^2} + ….)\).

Aproximadamente, a integral da difração pode ser escrita por:

\(\psi_P(x’, y’, z_0) \propto \int{}\int{\psi_{\sigma}(x,y) e^{-\frac{ik}{2z_0}((x-x’)^2 + (y-y’))^2}dx dy} \)

Os termos quadráticos são levados em conta para descrição da curvatura das frentes de onda. Devido a isso, a integral só pode ser resolvida numericamente.

Fraunhofer

Para grandes distâncias \(1 \gg \frac{\sigma^2}{\lambda z}\), os termos quadráticos podem ser negligenciados e o expoente é reduzido para:

\(r \simeq z_0 (1 + \frac{xx’}{z_0^2}+ \frac{yy’}{z_0^2} + \frac{x’^2 + y’^2}{2z_0^2})\)

Assim, a integral de difração pode ser reduzida para:

\(\psi_P(x’, y’, z_0) \propto \int{}\int{\psi(x,y) e^{-\frac{ik}{z_0}(xx’ + yy’)}dx dy}\)

Esta integral de difração é uma transformada de Fourier do campo de onda na estrutura difrativa. Ela é frequentemente resolvida analiticamente, mas sempre pode ser numericamente resolvida de forma eficiente.