Mathematischer Hintergrund
Da die stationäre (zeitunabhängige) Schrödingergleichung dieselbe Form hat wie die Helmholtzgleichung der Elektrodynamik, finden wir in der Quantenphysik Wellenphänomene in Analogie zur klassischen Optik.
Fällt eine Welle mit der Amplitude \(\psi_{\sigma}(x,y) = \psi_0(x,y) e^{i\phi(x,y)}\) auf eine beugende Struktur (z.B. eine Blendenöffnung oder ein Gitter) mit Ausdehnung \(\sigma\), so gehen nach dem Huygen’schen Prinzip von jedem Flächenelement \(d\sigma\) neue Sekundärwellen aus, die zur Feldstärke im Punkt \(P(x’,y’)\) beitragen können:
\(d\psi_p \propto \frac{\psi_{\sigma}d\sigma}{r}e^{-ikr}\)
wobei \(k = 2\pi /\lambda\) der Wellenzahlvektor und \(r\) der Abstand zwischen Quellpunkt und Beobachtungspunkt ist.
Integriert man über die Fläche der Beugungsstruktur erhält man:
\(\psi_p \propto \int{\int{ \psi_{\sigma}\frac{e^{-ikr}}{r}dx dy}}\).
Die Beschreibung der Beugung wird mit zunehmendem Abstand zur Quelle zunehmend einfacher, da sich die Distanz \(r\) zwischen Quellpunkt und Beobachtungspunkt \(r = \sqrt{z_0^2 + (x-x’)^2+(y-y’)^2}\) mit einer geringeren Anzahl von Termen nähern lässt.
Fresnel
Die Fresnelnäherung ist eine solche Näherung, die lineare und quadratische Terme berücksichtigt. Sie gilt solange \(\frac{x-x’}{z}<1<\frac{\sigma^2}{\lambda z}\).
Dann kann man im Nenner \(r \simeq z_0\) annähern und im Exponenten schreiben \(r = \sqrt{z_0^2 + (x-x’)^2+(y-y’)^2} = z_0 (1 + \frac{(x-x’)^2}{2z_0^2}+ \frac{(y-y’)^2}{2z_0^2} + ….)\).
In dem so genäherten Beugungsintegral
\(\psi_P(x’, y’, z_0) \propto \int{}\int{\psi_{\sigma}(x,y) e^{-\frac{ik}{2z_0}((x-x’)^2 + (y-y’))^2}dx dy} \)
wird die Krümmung der Wellenfronten über die quadratischen Terme berücksichtigt. Wegen dieser Terme ist das Integral nur numerisch lösbar.
Fraunhofer
In größerer Distanz \(1 \gg \frac{\sigma^2}{\lambda z}\), werden die quadratischen Terme vernachlässigbar und der Exponent vereinfacht sich zu
\(r \simeq z_0 (1 + \frac{xx’}{z_0^2}+ \frac{yy’}{z_0^2} + \frac{x’^2 + y’^2}{2z_0^2})\)
Das Beugungsintegral vereinfacht sich zu
\(\psi_P(x’, y’, z_0) \propto \int{}\int{\psi(x,y) e^{-\frac{ik}{z_0}(xx’ + yy’)}dx dy}\)
Dieses Beugungsintegral ist eine Fourier-Transformierte des Wellenfeldes in der Beugungsstuktur. Sie kann oft einfach analytisch und immer effizient numerisch gelöst werden.
Um die Wellenausbreitung hinter einer beliebigen Öffnung zu berechnen, wird das Kirchhoff-Fresnel-Beugungsintegral verwendet. Dessen Herleitung und Bedeutung wird hier erklärt: